Tautologia, contradicción y contingencia

                                   

♦Con cinco conectivas lógicas básicas se construyen proposiciones compuestas que pueden ser tautologías, contradicciones o contingencias.

• Si la tabla de verdad de la proposición es siempre verdadera, independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples, entonces la expresión estautológica.

• Si la tabla de verdad es siempre falsa, será unacontradicción.

• Si es verdadera y falsa, la proposición es unacontingencia.

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•TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad  para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: 

•CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: 

•CONTINGENCIA:Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa,(combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: 

Tablas de Verdad.

•CONJUNCIÓN: La regla para establecer los criterios de verdad de la conectiva lógica conjunción es la siguiente:

• Una conjunción de enunciados en los cuales todos son verdaderos, es verdadera.

• Una conjunción de enunciados en donde no todos son verdaderos es falsa.

• Lo que equivale a decir que basta que uno de sus componentes sea falsa para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso de que ambos componentes lo sean.

“El auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la bateria”

(v) p: Tiene gasolina el tanque. ✓

(v) q: Tiene corriente la bateria. ✓

(v) r: El auto enciende. ✓

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(v) p: Tiene gasolina el tanque. ✓

(f ) q: No tiene corriente la bateria. ✘

(f ) r: El auto no enciende. ✘

⇩ ⇩ ⇩

(f ) p: No tiene gasolina el tanque. ✘

(f ) q: No tiene corriente la bateria. ✘

(f ) r: El auto no enciende. ✘

•DISYUNCIÓN: La disyunción es verdadera, si al menos una de las proposiciones componentes es verdadera, resultando falso únicamente cuando las dos proposiciones son falsas.

• Una disyunción inclusiva es verdadera cuando por lo menos una de sus alternativas es verdadera; solamente será falsa si las dos lo son.

“Una persona puede entrar al cine si compra un boleto o si obtiene un pase”

(v) p: Compra un boleto. ✓

(v) q: Obtiene un pase. ✓

(v) r: Una persona entra al cine. ✓

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(v) p: Compra un boleto. ✓

(f ) q: No obtiene un pase. ✘

(v) r: Una persona entra al cine. ✓

⇩ ⇩ ⇩

(f ) p: No compra un boleto. ✘

(f ) q: No obtiene un pase. ✘

(f ) r: Una persona no entra al cine. ✘

•CONDICIONAL: expresada por la frase “si,… entonces”, se simboliza mediante el signo “→” colocado entre las dos proposiciones.. La primera proposición lleva el nombre de antecedente y la segunda proposición la de consecuente.

• La condicional será falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás caso será verdadera.

“Si me saco la loteria entonces te regalaré un carro”

(v) p:Si me saco la loteria. ✓

(v) q: Te regalaré un carro. ✓

(v) p→q: Si me saco la lotería entonces te regalaré un carro. ✓

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(v) p:Si me saco la loteria. ✓

(f ) q: No te regalaré un carro. ✘

(f ) p→q: Si me saco la lotería entonces no te regalaré uncarro.✘

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(f ) p: Si no me saco la loteria. ✘

(f ) q: No te regalaré un carro. ✘

(f ) p→q: Si no me saco la lotería entonces no te regalaré un carro. ✓

•BICONDICIONAL: expresada por la frase “si y solo sí…”, denotada por el signo“↔”, significa una relación bidireccional en donde ambas proposiciones se necesitan entre sí.

• La conectiva bicondicional será verdadera solamente si y solo si las dos sentencias que la componen son a la vez verdaderas o si son ambas falsas.

“La Tierra es esférica si y sólo si el Sol es una estrella”

(v) p: La Tierra es esférica. ✓

(v) q: El sol es una estrella. ✓

(v) p↔q: La Tierra es esférica si y sólo si el Sol es una estrella. ✓

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“El Sol es una estrella si y solo si 1+2=4″

(v) p: El sol es una estrella. ✓

(f ) q: 1+2=4 ✘

(f ) p↔q: El Sol es una estrella si y solo si 1+2=4. ✘

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“No serás un buen estudiante si y solo si no tienes promedio de 10″

(f ) p: No serás un buen estudiante. ✘

(f ) q: No tienes promedio de 10. ✘

(v ) p↔q:No serás un buen estudiante si y solo si no tienes promedio de 10. ✓

•NEGACIÓN: Dada una proposición simple p, esta puede ser negada y convertirse en otra proposición llamada negación de ~p. Este signo puede ser traducido en palabras, así: “no es el caso que” o, “es falso que” y más brevemente, “no”.

♦Se establece el siguiente principio para la negación lógica: La negación de un enunciado verdadero es falsa; la negación de un enunciado falso es verdadero.

(v) p: Está lloviendo. ✓

(f ) ~p: No está lloviendo. ✘

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(f ) ~p: Es falso que Oscar habla por teléfono. ✘

(v) p: Oscar habla por teléfono. ✓